মূলবিন্দু দিয়ে যাব এবং 3y =2x রেখার সাথে রেখার সাথে ${\tan }^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)$ কোণ উৎপন্ন করে এরুপ দুইটি সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়ের জন্য তাদের ঢাল ব্যবহার করা হয়। যদি দুটি সরলরেখার ঢাল \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তবে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \( \theta \) নির্ণয়ের জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

\[
\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|
\]

এখানে:

• \( m_1 \) এবং \( m_2 \) যথাক্রমে প্রথম এবং দ্বিতীয় সরলরেখার ঢাল।
• \( \theta \) হল রেখাদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ।

বিশেষ ক্ষেত্রে

1. যদি \( m_1 = m_2 \) হয়:
   তখন রেখাদুটি সমান্তরাল এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \( \theta = 0^\circ \)।
2. যদি \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) হয়:
   তখন রেখাদুটি পরস্পর লম্ব এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \( \theta = 90^\circ \) বা \( \frac{\pi}{2} \) রেডিয়ান হবে।

উদাহরণ

ধরুন, দুটি সরলরেখার ঢাল \( m_1 = 2 \) এবং \( m_2 = -\frac{1}{3} \)।

ধাপ ১: সূত্রে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) এর মান বসানো

\[
\tan \theta = \left| \frac{2 - \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} \right|
\]

ধাপ ২: সরলীকরণ

\[
= \left| \frac{2 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{3}} \right|
\]
\[
= \left| \frac{\frac{6 + 1}{3}}{\frac{3 - 2}{3}} \right|
\]
\[
= \left| \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right|
\]
\[
= |7| = 7
\]

ধাপ ৩: \( \theta \) নির্ণয়

এখন, \( \tan \theta = 7 \) হলে, \( \theta = \tan^{-1}(7) \), যা প্রায় \( 81.87^\circ \)।

সংক্ষেপে

• সমান্তরাল রেখা: \( m_1 = m_2 \) হলে, রেখাদুটি সমান্তরাল এবং কোণ \( 0^\circ \)।
• লম্ব রেখা: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) হলে, রেখাদুটি লম্ব এবং কোণ \( 90^\circ \)।

এইভাবে, দুইটি সরলরেখার ঢালের সাহায্যে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করা যায়।